AP過去問令和6年度春期午前問75

問75(問題文)

　製品X、Yを1台製造するのに必要な部品数は、表のとおりである。製品1台当たりの利益がX、Yともに1万円のとき、利益は最大何万円になるか。ここで、部品Aは120個、部品Bは60個まで使えるものとする。

単位個

製品部品	X	Y
A	3	2
B	1	2

ア　30

イ　40

ウ　45

エ　60

回答・解説

地道に計算する方法だと

Yに全ぶり A部品60個 B部品60個で、Yが30製品作れる。Aの部品が60個あまる。

Xに全ぶり A部品120個 B部品40個で、Xが40製品作れる。Bの部品が20個あまる。

Aを作る数を1つづ減らすと、Xを39製品部品A117個 B部品39個 Aが3個あまり、Bが21個あまるのでY製品は1個で40製品 Aが1余り、Bが19あまりです。

Aを作る数を2減らすと、Xを38製品部品A114個 B部品38個 Aが6個あまり、Bが22個あまるのでY製品は3個で合計41製品 Aが0余り、Bが16あまりです。

Aを作る数を4減らすと、Xを36製品部品A108個 B部品36個 Aが12個あまり、Bが24個あまるのでY製品は6個で合計42製品 Aが0余り、Bが12あまりです。

Aを作る数を6減らすと、Xを34製品部品A102個 B部品34個 Aが18個あまり、Bが26個あまるのでY製品は9個で合計43製品 Aが0余り、Bが8あまりです。

Aを作る数を8減らすと、Xを32製品部品A96個 B部品32個 Aが24個あまり、Bが28個あまるのでY製品は12個で合計44製品 Aが0余り、Bが4あまりです。

Aを作る数を10減らすと、Xを30製品部品A90個 B部品30個 Aが30個あまり、Bが30個あまるのでY製品は15個で合計45製品 Aが0余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を12減らすと、Xを28製品部品A84個 B部品28個 Aが36個あまり、Bが32個あまるのでY製品は16個で合計44製品 Aが4余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を14減らすと、Xを26製品部品A78個 B部品26個 Aが42個あまり、Bが34個あまるのでY製品は17個で合計43製品 Aが8余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を16減らすと、Xを24製品部品A72個 B部品24個 Aが48個あまり、Bが36個あまるのでY製品は18個で合計42製品 Aが12余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を18減らすと、Xを22製品部品A66個 B部品22個 Aが54個あまり、Bが38個あまるのでY製品は19個で合計41製品 Aが16余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を20減らすと、Xを20製品部品A60個 B部品20個 Aが60個あまり、Bが40個あまるのでY製品は20個で合計40製品 Aが20余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を22減らすと、Xを18製品部品A54個 B部品18個 Aが66個あまり、Bが42個あまるのでY製品は21個で合計39製品 Aが24余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を24減らすと、Xを16製品部品A48個 B部品16個 Aが72個あまり、Bが44個あまるのでY製品は22個で合計38製品 Aが28余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を26減らすと、Xを14製品部品A42個 B部品14個 Aが78個あまり、Bが46個あまるのでY製品は23個で合計37製品 Aが32余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を28減らすと、Xを12製品部品A36個 B部品12個 Aが84個あまり、Bが48個あまるのでY製品は24個で合計36製品 Aが36余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を30減らすと、Xを10製品部品A30個 B部品10個 Aが90個あまり、Bが50個あまるのでY製品は25個で合計35製品 Aが40余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を32減らすと、Xを8製品部品A24個 B部品8個 Aが96個あまり、Bが52個あまるのでY製品は26個で合計35製品 Aが44余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を34減らすと、Xを6製品部品A18個 B部品6個 Aが102個あまり、Bが54個あまるのでY製品は27個で合計35製品 Aが48余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を36減らすと、Xを4製品部品A12個 B部品4個 Aが108個あまり、Bが56個あまるのでY製品は28個で合計35製品 Aが52余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を38減らすと、Xを2製品部品A6個 B部品2個 Aが114個あまり、Bが58個あまるのでY製品は29個で合計35製品 Aが56余り、Bが0あまりです。

Aを作る数を40減らすと、Xを0製品部品A0個 B部品0個 Aが120個あまり、Bが60個あまるのでY製品は30個で合計35製品 Aが60余り、Bが0あまりです。

部品の無駄がなかった

Aを作る数を10減らすと、Xを30製品部品A90個 B部品30個 Aが30個あまり、Bが30個あまるのでY製品は15個で合計45製品

が最大利益で45万円です。

　したがって

ウ

　が答えです。

　計算で考えると

【制約条件】

製品Xをx台、製品Yをy台作るとすると、部品の使用量は以下の通りです。

部品A: $3x + 2y ≦ 120$

部品B: $1x + 2y ≦ 60$

$x ≧ 0、y ≧ 0$ （当然ながら製品の台数は負になりません）

【目的関数】

$\text{利益} = 1x + 1y \text{(単位: 万円)}$

よって、最大化すべき目的関数は $z = x + y$ です。

連立方程式

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3x &+ 2y &= 120 &\cdots\text{①} \\ x &+ 2y &= 60 &\cdots\text{②} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

をとくことで、交点が求まります。

②を３倍して1との差分をります。

$3x + 6y = 180$

$4y = 60$

$y = 15$

$y=15$ を①式に代入してxを求めると

$3x + 2 \times 15 = 120$

$3x + 30 =120$

$3x = 120-30$

$3x = 90$

$x = 30$

このように製品Xを30個製品Yを15個作ったときにちょうど部品を使い切り、収益が最大となります。このときの収益はXとYの足し算の結果の単位を万円に変えればいいので

$15 + 30 = 45$

となります。

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