AP過去問 令和7年度春期 午前 問11
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問11(問題文)
マルチプロセッサによる並列処理で得られる高速化率(単一プロセッサのときと比べた倍率)Eを、次の式によって評価する。r=0.9のアプリケーションの高速化率がr=0.3のものの3倍となるのはプロセッサが何台のときか。
\require{enclose} E = \frac{1}{1 - r + \frac{r}{n}}
ここで、
n: プロセッサの台数(1≦n)
r: 対象とする処理のうち、並列化が可能な部分の割合(0 ≦ r ≦ 1)
とし、並列化に伴うオーバーヘッドは考慮しないものとする。
ア 3
イ 4
ウ 5
エ 6
回答・解説
まずは、アの選択肢の場合の計算をしてみましょう。r=0.3の場合の3倍がどのような値か調べて、r=0.9のときの値と一致するかを調べる作業です。
E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{3}} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.1} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.2} \times 3
E = \frac{1}{0.8} \times 3
E = \frac{10}{8} \times 3
E = 1.25 \times 3
E = 3.75
E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{3}}
E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.3}
E = \frac{1}{1 - 0.6}
E = \frac{1}{0.4}
E = \frac{10}{4}
E = 2.5
一致しませんね。
イ
E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{4}} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.075} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.225} \times 3
E = \frac{1}{0.775} \times 3
E = \frac{1000}{775} \times 3
E = 1.290... \times 3
E = 3.87...
E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{4}}
E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.225}
E = \frac{1}{1 - 0.675}
E = \frac{1}{-0.325}
E = \frac{1000}{325}
E = 3.077
一致しませんね。
ウ
E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{5}} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.06} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.24} \times 3
E = \frac{1}{0.76} \times 3
E = 1.316... \times 3
E = 1.290... \times 3
E = 3.948...
E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{5}}
E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.18}
E = \frac{1}{1 - 0.72}
E = \frac{1}{0.28}
E = \frac{100}{28}
E = 3.571...
一致しませんね。
したがって
エ
が答えです。
気持ち悪いので、最後も計算しておきましょう。エは
E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{6}} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.05} \times 3
E = \frac{1}{1 - 0.25} \times 3
E = \frac{1}{0.75} \times 3
E = 1.333... \times 3
E = 4
E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{6}}
E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.15}
E = \frac{1}{1 - 0.75}
E = \frac{1}{0.25}
E = \frac{100}{25}
E = 4
一致しました。という地道な方法と方程式を使ってnを求める方法もあります。
E_1 = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{n}}
E_2 = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{n}}
ここで、 r=0.9 のアプリケーションの高速化率が、 r=0.3 のものの3倍になる条件を求めます。
つまり、次の等式を満たすnを求めます。
E_1 = 3 × E_2
これらの関係から、次の式が得られます。
\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}} = 3 \times \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}
両辺の逆数をとって整理します。 \frac{\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}}}{\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}}} を左辺に掛け、右辺に \frac{\frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}}{\frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}} を掛ける操作です。
\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}} = 3 \times \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}
0.1 + 0.9/n = (0.7 + 0.3/n) / 3
分数を払って計算を進めると、
3(0.1 + 0.9/n) = 0.7 + 0.3/n
0.3 + 2.7/n = 0.7 + 0.3/n
両辺から0.3/nを引き、両辺を整理すると、
0.3 + 2.4/n = 0.7
2.4/n = 0.4
n = 2.4 / 0.4 = 6
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