AP過去問 令和7年度春期 午前 問11
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問11(問題文)
マルチプロセッサによる並列処理で得られる高速化率(単一プロセッサのときと比べた倍率)Eを、次の式によって評価する。r=0.9のアプリケーションの高速化率がr=0.3のものの3倍となるのはプロセッサが何台のときか。
$$ \require{enclose} E = \frac{1}{1 - r + \frac{r}{n}} $$
ここで、
n: プロセッサの台数(1≦n)
r: 対象とする処理のうち、並列化が可能な部分の割合(0 ≦ r ≦ 1)
とし、並列化に伴うオーバーヘッドは考慮しないものとする。
ア 3
イ 4
ウ 5
エ 6
回答・解説
まずは、アの選択肢の場合の計算をしてみましょう。r=0.3の場合の3倍がどのような値か調べて、r=0.9のときの値と一致するかを調べる作業です。
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{3}} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.1} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.2} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{0.8} \times 3 $$
$$ E = \frac{10}{8} \times 3 $$
$$ E = 1.25 \times 3 $$
$$ E = 3.75 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{3}} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.3} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.6} $$
$$ E = \frac{1}{0.4} $$
$$ E = \frac{10}{4} $$
$$ E = 2.5 $$
一致しませんね。
イ
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{4}} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.075} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.225} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{0.775} \times 3 $$
$$ E = \frac{1000}{775} \times 3 $$
$$ E = 1.290... \times 3 $$
$$ E = 3.87... $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{4}} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.225} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.675} $$
$$ E = \frac{1}{-0.325} $$
$$ E = \frac{1000}{325} $$
$$ E = 3.077 $$
一致しませんね。
ウ
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{5}} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.06} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.24} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{0.76} \times 3 $$
$$ E = 1.316... \times 3 $$
$$ E = 1.290... \times 3 $$
$$ E = 3.948... $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{5}} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.18} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.72} $$
$$ E = \frac{1}{0.28} $$
$$ E = \frac{100}{28} $$
$$ E = 3.571... $$
一致しませんね。
したがって
エ
が答えです。
気持ち悪いので、最後も計算しておきましょう。エは
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{6}} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.3 + 0.05} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.25} \times 3 $$
$$ E = \frac{1}{0.75} \times 3 $$
$$ E = 1.333... \times 3 $$
$$ E = 4 $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{6}} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.9 + 0.15} $$
$$ E = \frac{1}{1 - 0.75} $$
$$ E = \frac{1}{0.25} $$
$$ E = \frac{100}{25} $$
$$ E = 4 $$
一致しました。という地道な方法と方程式を使ってnを求める方法もあります。
$$ E_1 = \frac{1}{1 - 0.9 + \frac{0.9}{n}} $$
$$ E_2 = \frac{1}{1 - 0.3 + \frac{0.3}{n}} $$
ここで、\( r=0.9 \)のアプリケーションの高速化率が、\( r=0.3 \)のものの3倍になる条件を求めます。
つまり、次の等式を満たすnを求めます。
\( E_1 = 3 × E_2 \)
これらの関係から、次の式が得られます。
$$ \frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}} = 3 \times \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}} $$
両辺の逆数をとって整理します。\( \frac{\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}}}{\frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}}} \)を左辺に掛け、右辺に\( \frac{\frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}}{\frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}}} \)を掛ける操作です。
$$ \frac{1}{0.1 + \frac{0.9}{n}} = 3 \times \frac{1}{0.7 + \frac{0.3}{n}} $$
0.1 + 0.9/n = (0.7 + 0.3/n) / 3
分数を払って計算を進めると、
3(0.1 + 0.9/n) = 0.7 + 0.3/n
0.3 + 2.7/n = 0.7 + 0.3/n
両辺から0.3/nを引き、両辺を整理すると、
0.3 + 2.4/n = 0.7
2.4/n = 0.4
n = 2.4 / 0.4 = 6
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