AP過去問 令和6年度秋期 午後 問3 プログラミング
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令和6年度秋期 午後 問3 プログラミング(AIプロンプト向け)
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令和6年度秋期 午後 問3 プログラミング(問題原文)
■素数を列挙するアルゴリズムに関する次の記述を読んで、設問に答えよ。
素数とは、2以上の自然数のうち、正の約数が1と自身だけである数のことである。
2以上の自然数Nに対して、N以下の素数を列挙する関数prime1のプログラムを図1に示す。なお、本問では、配列の要素番号は1から始まり、要素数が0の配列を{}で表す。
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〇整数型の配列: prime1(整数型: N) |
この関数prime1の時間計算量は、Nを用いて表すとO( ア )である。
[アルゴリズムの改良1]
素数の定義によって、2以上の自然数sについて、s自身を除くsの正の倍数uは、1とu以外にsも約数に含むので素数ではない。この性質を利用して関数prime1を改良し、次の手順で素数を列挙する関数prime2を考える。
(1) 2以上N以下の自然数について、全て “素数である” とマークする。
(2) 2以上N以下の自然数dについて、次の(a)、(b)を行う。
- (a) dが “素数ではない” とマークされている場合、何もしない。
- (b) dが “素数である” とマークされている場合、次の処理を行う
- ① dが素数であることを確定させる。
- ② d以上の自然数xについて、dをx倍した数を“素数ではない” とマークする。
関数prime2のプログラムを図2に示す。
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〇整数型の配列: prime2(整数型: N) |
関数prime2は関数prime1と比較してメイン処理部の時間計算量を小さくすることができ、引数Nの値が同一の場合において、関数prime2の(L2)の行の実行回数は関数prime1の(L1)の行の実行回数以下となる。
[アルゴリズムの改良2]
4以上の偶数は全て2の倍数であるので、素数ではない。したがって2以外の素数を列挙するためには奇数だけを考慮すればよい。この性質を利用して、関数prime2に次の変更を加えた関数prime3を考える。
(1) 関数の戻り値として素数の一覧が格納されるprimesにあらかじめ2を格納しておく。 (2) いずれのループも奇数についてだけが実行されるようにする。 (3) 3以上の自然数2k+1が素数か否かをisPrime[k]で表すようにする。
関数prime3のプログラムを図3に示す。
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〇整数型の配列: prime3(整数型: N) |
関数prime3は関数prime2と比較してメイン処理部の二重ループの実行回数を減らすことができる。引数Nの値が同一の場合において、関数prime3の(L3)の行の実行回数は、関数prime2の(L2)の行の実行回数の半分以下となる。加えて、計算に必要な配列isPrimeの要素数も半分以下に減らすことができる。
設問1 本文中の ア に入れる適切な字句を答えよ。
設問2 図2中の イ 、 ウ に入れる適切な字句を答えよ。
設問3 図3中の エ ～ カ に入れる適切な字句を答えよ。
設問4 prime1(20)、prime2(20)、prime3(20)をそれぞれ実行したとき、図1中の(L1)の行、図2中の(L2)の行、図3中の(L3)の行が実行される回数をそれぞれ答えよ。
回答・解説
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