AP過去問 令和6年度春期 午前 問14
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問14(問題文)
1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、
$$ \begin{align*} P = \frac{n}{1＋(n－1)a} \end{align*} $$
で表されるとする。ここで、aはオーバーヘッドを表す定数である。例えば、a＝0.1、n＝4とすると、p≒3なので、4台のCPUからなるマルチプロセッサの性能は約3倍になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもある値以上には大きくならない。a＝0.1の場合、その値は幾らか。
ア 5
イ 10
ウ 15
エ 20
回答・解説
$$ \frac{n}{1+(n-1)a} $$
の分母を展開してみる。
$$ \frac{n}{1+na-a} $$
分母のnaの位置を変える。
$$ \frac{n}{na+1-a} $$
分母と分子にそれぞれ、\( \frac{1}{n} \)をかける。分母分子にそれぞれ5、つまり\( \frac{5}{5} \)をかけても\( 1 \)を掛けてるの同じことだからやっていい操作です。
$$ \frac{n \cdot \frac{1}{n} }{na \cdot \frac{1}{n} ＋\frac{(1－a)}{n}} $$
約分できるとこをやると
$$ \frac{1}{a +\frac{(1-a)}{n}} $$
極限を考えます。
$$ \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{a +\frac{(1-a)}{n}} $$
すると、\( \frac{(1-a)}{n} \)は\( n \)を十分大きくすると、\( 0 \)になるので、
$$ \frac{1}{a} $$
であると言えます。ここで\( a=0.1 \)なので代入すると。
$$ \frac{1}{0.1} $$
分母と分子にそれぞれ10をかけて
$$ \frac{10}{1} $$
なので、\( 10 \) が答えです。
したがって、
イ 10
が答えです。
こんな複雑なことしなくても\( n \)に適当に大きな値として\( 10,000 \)とかを代入しちゃえばいいです。そしたら
$$ \frac{10000}{1000.9} $$
なので、およそ\( 10 \)くらいだな。よし！イが答えだ！っていうのでもOKです。もうちょっというと、桁を増やしても同じことの連続だなと推測できることも重要です。
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