AP過去問 令和7年度春期 午前 問1

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問1(問題文)

　論理式Q, Pがいずれも真であるとき、論理式Rの真偽に関わらず真になる式はどれか。ここで❝‾❞は否定を、❝∨❞は論理和を、❝∧❞は論理積を、❝→❞は含意(❝真→偽❞となるときに限り偽となる演算)を表す。

ア　 \( ((P \rightarrow Q)∧(Q \rightarrow P)) \rightarrow (R \rightarrow \overline{Q}) \)

イ　 \( ((P \rightarrow Q)∧(\overline{Q \rightarrow \overline{P}})) \rightarrow (Q \rightarrow R) \)

ウ　 \( ((P\rightarrow \overline{Q})∨(Q\rightarrow P)) \rightarrow (R \rightarrow \overline{Q}) \)

エ　 \( ((P\rightarrow \overline{Q})∨(Q \rightarrow \overline{P})) \rightarrow (Q \rightarrow R) \)

　

回答・解説

まずはアから確認します。エのときは一番無駄になりますけど。 \( ((1 \rightarrow 1)∧(1 \rightarrow 1)) \rightarrow (1\text{or}0 \rightarrow \overline{1}) \)

Rは1か0なので、分けて演算することになります。

\( (1∧1) \rightarrow (1\rightarrow \overline{1}) \)

まずはRが真(1)のとき

\( 1 \rightarrow 0 \)

\( 0 \) Rが真だと結果が偽になるので、違いますね。

次はRが偽(0)のときも暇つぶしに確認しておきます。

\( 1 \rightarrow 1 \)

\( 1 \) Rが偽なら結果は真になるみたいです。

いづれにしても、違うのでイを確認します。

\( ((1 \rightarrow 1)∧(\overline{1 \rightarrow \overline{1}})) \rightarrow (1 \rightarrow 1\text{or}0) \)

まずはRが真(1)のとき

\( (1∧(\overline{1 \rightarrow 0})) \rightarrow (1 \rightarrow 1) \)

\( (1∧(\overline{0})) \rightarrow 1 \)

\( (1∧1) \rightarrow 1 \)

\( 1 \rightarrow 1 \)

\( 1 \)

次はRが偽(0)のとき

\( (1∧(\overline{1 \rightarrow 0})) \rightarrow (1 \rightarrow 0) \)

\( (1∧(\overline{0})) \rightarrow 0 \)

\( (1∧1) \rightarrow 0 \)

\( 1 \rightarrow 0 \)

\( 0 \) Rが偽のときは結果が偽になるので、これも違います。

イも違うので、次にウを確認します。

\( ((1 \rightarrow \overline{1})∨(1\rightarrow 1)) \rightarrow (1\text{or}0 \rightarrow \overline{1}) \)

Rが真(1)のとき

\( ((1 \rightarrow 0)∨(1 \rightarrow 1)) \rightarrow (1 \rightarrow 0) \)

\( (0∨1) \rightarrow 0 \)

\( 1 \rightarrow 0 \)

\( 0 \) はい。違いました。答えはエですね。といきたいところですが、

今は暇なので、Rが偽(0)のときも見てみます。

\( ((1 \rightarrow 0)∨(1 \rightarrow 1)) \rightarrow (0 \rightarrow 0) \)

\( (0∨1) \rightarrow 1 \)

\( 1 \rightarrow 1 \)

\( 1 \) Rが偽なら、結果は真になるようですが、答えではないです。

最後にエを念のため確認しておきましょう。

\( ((1\rightarrow \overline{1})∨(1 \rightarrow \overline{1})) \rightarrow (1 \rightarrow 1\text{or}0) \)

Rが真(1)のとき

\( ((1\rightarrow 0)∨(1 \rightarrow 0)) \rightarrow (1 \rightarrow 1) \)

\( (0∨0) \rightarrow 1 \)

\( 0 \rightarrow 1 \)

\( 1 \) Rが真(1)のとき、結果は真ですね。いい調子です。

Rが偽(0)のとき

\( ((1\rightarrow 0)∨(1 \rightarrow 0)) \rightarrow (1 \rightarrow 0) \)

\( (0∨0) \rightarrow 0 \)

\( 0 \rightarrow 0 \)

\( 1 \) Rが偽(0)のとき、結果は真です。やっぱり真になりました。答えはエですね。

　したがって

エ

　が答えです。

　

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