AP過去問 令和6年度春期 午前 問14

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問14(問題文)

　1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

$$\begin{align*} P = \frac{n}{1＋(n－1)a} \end{align*}$$

で表されるとする。ここで、aはオーバーヘッドを表す定数である。例えば、a＝0.1、n＝4とすると、p≒3なので、4台のCPUからなるマルチプロセッサの性能は約3倍になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもある値以上には大きくならない。a＝0.1の場合、その値は幾らか。

ア　5

イ　10

ウ　15

エ　20

　

回答・解説

$$\frac{n}{1+(n-1)a}$$

の分母を展開してみる。

$$\frac{n}{1+na-a}$$

分母のnaの位置を変える。

$$\frac{n}{na+1-a}$$

分母と分子にそれぞれ、$\frac{1}{n}$をかける。分母分子にそれぞれ5、つまり$\frac{5}{5}$をかけても$1$を掛けてるの同じことだからやっていい操作です。

$$\frac{n \cdot \frac{1}{n} }{na \cdot \frac{1}{n} ＋\frac{(1－a)}{n}}$$

約分できるとこをやると

$$\frac{1}{a +\frac{(1-a)}{n}}$$

極限を考えます。

$$\lim_{ n \to \infty }\frac{1}{a +\frac{(1-a)}{n}}$$

すると、$\frac{(1-a)}{n}$は$n$を十分大きくすると、$0$になるので、

$$\frac{1}{a}$$

であると言えます。ここで$a=0.1$なので代入すると。

$$\frac{1}{0.1}$$

分母と分子にそれぞれ10をかけて

$$\frac{10}{1}$$

なので、$10$ が答えです。

したがって、

イ　10

　が答えです。

　こんな複雑なことしなくても$n$に適当に大きな値として$10,000$とかを代入しちゃえばいいです。そしたら

$$\frac{10000}{1000.9}$$

なので、およそ$10$くらいだな。よし！イが答えだ！っていうのでもOKです。もうちょっというと、桁を増やしても同じことの連続だなと推測できることも重要です。

　

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